[Проект «Атоми», присвячений талановитим українським науковцям, які творять не лише в Україні, але і за кордоном. Ми розповідаємо про їхні життєві шляхи, масштабні відкриття, а також проекти та дослідження, які змінюють світ.
Спецпроект створений за підтримки компанії SoftServe.]
***
1611 року німецький філософ та вчений Йоганн Кеплер поставив одне із найскладніших питань у математиці — задачу про найщільніше пакування куль. Знадобилось понад чотириста років, аби розв’язати одну із її похідних. І зробила це математикиня з України Марина В’язовська. Вона зуміла запакувати кулі у 8-ми та 24-вимірному просторах.
Труднощі запакування
Окрім відкриття законів руху планет, Йоганн Кеплер знаний у світі ще й першим в історії трактатом із кристалографії, який має назву «Про природу сніжинок». Свого часу дослідник звернув увагу на те, що сніжинки мають саме шестикутну форму, а п’ятикутних чи квадратних чомусь не буває. Згідно з його гіпотезою, розташування атомів шестикутниками є найщільнішим. Це в математиці називають гексагональною упаковкою. Цікаво, що задачу про найщільніше пакування він почув від математика Томаса Херріота, помічника британського лицаря сера Волтера Релі, який прославився нападами на іспанський флот. Піратські авантюри наштовхнули його на запитання: «Як одразу дізнатися, скільки ядер у купі на палубі корабля, не рахуючи їх? Як скласти у трюм найбільшу кількість ядер?». Так з’явилася одна з найвідоміших математичних задач.
Те, що можна перевірити
— З дитинства уроки алгебри та геометрії подобались мені тим, що тут можна все самому перевірити. Так не зробиш з історією, скажімо, — розповідає Марина В’язовська про свої перші зацікавлення.
Народжена у Києві, вона пригадує дитинство у столиці, навчання у ліцеї та перші досвіди із точними науками.
Хоч у нашій родині ціла династія хіміків, я зламала цю традицію, обравши математичний факультет
— У математиці є кілька простих аксіом (наприклад, п’ять в геометрії Евкліда), а далі — все з’ясовуй сам. Це бажання про все довідатись довело мене до олімпіад — і регіональних, і всеукраїнських. Я відчувала азарт, і це, безумовно, вплинуло на мою любов до математики. І хоч у нашій родині ціла династія хіміків, я зламала цю традицію, обравши математичний факультет.
Бджолині стільники
У двовимірному просторі все виглядає просто. Зробімо експеримент. Намалюйте коло. Спершу одне. А потім — кілька інших довкола так, аби вони торкалися цього першого і займали найменшу площу.
У вас мало би вийти шість кіл із центрами на вершинах шестикутника. Нагадує ті самі сніжинки, які розглядав Кеплер, чи не так? Або бджолині стільники. Ось ці шість кіл називають контактним числом. Для тривимірного простору контактне число дорівнює дванадцятьом. Це означає, що довкола однієї кулі можна розкласти ще дванадцять куль, аби вони торкалися до неї. Пригляньтесь до кавунів або апельсинів у магазині. Вони лежать у коробках саме так. Математики довго намагалися «просунути» ще один, тринадцятий апельсин у тривимірний простір, однак їм це не вдалось. Бідолахи мучились до 1953 року, позаяк аж тоді було доведено, що дванадцять є таки найбільшим контактним числом.
Особливі функції
— Я працювала з теорією чисел, — пояснює Марина В’язовська, яка займалась дослідженнями у рідному Києві, а також у німецькому місті Бонн. — Ішлося про особливі значення функцій. Я інтенсивно працювала зі своїм науковим керівником Доном Цагіром.
Дон Цагір — математичний геній, який у 13 років закінчив школу, у 16 — університет, а у 20 — отримав ступінь Ph.D. Зараз він є одним із директорів Інституту математики Товариства імені Макса Планка в Бонні.
— З одного боку, складно працювати з такою великою людиною, — каже Марина, — з іншого боку, є багато переваг. Його насправді нелегко знайти, адже він завжди подорожує. Однак якщо вже вдалося зловити, то він годинами розповідатиме якісь цікаві речі про математику. Це інколи може втомлювати — таке собі передозування математикою. Але насправді потім видно прогрес у розумінні проблеми.
Витратила на цю роботу два роки. Часом здавалось, що це безрезультатно. Але мені важко зупинитися, коли входжу в азарт
— А щодо пакування куль — насправді цю задачу легко зрозуміти, — пояснює на пальцях Марина. — У нас є ящик, і треба покласти у нього якомога більше куль однакового радіуса. Багато чого залежить від об’єму ящика. Нам треба знайти константу, залежність між об’ємом коробки та кількістю куль, які туди можна покласти. Десь у 50-х роках науковці усвідомили, що у великих розмірностях ця задача пов’язана із теорією інформації, відіграє роль в теорії кодування, наприклад. Про практичне значення загалом мені важко казати, очевидної відповіді не маю. Я працювала над розв’язанням цієї задачі у 8-ми та 24-вимірному просторі. Витратила на цю роботу два роки. Часом здавалось, що це безрезультатно. Але мені важко зупинитися, коли входжу в азарт. Тут емоційна сфера задіяна, де не все можна раціонально пояснити.
Апельсини в магазині
Виявляється, що у тривимірному просторі розв’язків, як пакувати кулі, дуже багато. Один із них — найпростіший: так викладають апельсини в магазині — пірамідками. Цю задачу розв’язали у кінці ХХ століття завдяки потужним комп’ютерним обчисленням. Це зробив Том Гейлз. Математик із Піттсбурзького університету витратив шість років на написання тексту і комп’ютерної програми. Триста сторінок формул і три гігабайти даних — ось цього не вистачало Кеплеру, аби довести свою гіпотезу. Після чого роботу Гейлза ще чотири роки перевіряли дванадцятеро математиків. Їм не дуже сподобалося, що таку задачу розв’язано на комп’ютері.
— 2003 року стало зрозуміло, що розмірності 8 та 24 розв’яжуться значно легше, ніж усі інші, — Марина розповідає про стан справ на момент початку роботи над задачею. — Ноам Елкіс та Генрі Кон придумали новий метод, як оцінювати пакування. Далі постало питання — як знайти точну формулу? В цьому і полягає моя заслуга, я зробила цей метод не чисельним, а точним.
Сенсація у математичному світі
15 березня цього року Марина В’язовська публікує своє розв’язання знаменитої задачі. Про 8-вимірний простір — стаття на двадцять дві сторінки, про 24-вимірний — на дванадцять. Її рішення світові математики визнають елегантним та дуже лаконічним. Варто лиш порівняти із 300 сторінками Гейлза, чи не так?
У першій статті вона — єдиний автор, хоча в сучасній науці дуже важко самотужки написати потужне дослідження. Друга стаття створена у співавторстві з Генрі Коном, Абінавом Кумаром, Стівеном Міллером та Данилом Радченком. Ці статті спричинили сенсацію в математичному світі. Вже 21 березня новина про це потрапляє в американське інтернет-видання The Huffington Post, німецький журнал Der Spiegel та інші міжнародні видання. Всюди — фотографії різних фруктів.
— Я не думала, що це відкриття світового масштабу, — каже випускниця механіко-математичного факультету КНУ ім. Шевченка, яка зараз працює в Німеччині. — Не думала, що це спричинить так багато галасу. Добра стаття, просто задача, над якою я працювала, але такої уваги не очікувала. Я ж не голлівудська зірка, тому спілкування з пресою далося мені важко. Це невластива для мене робота. Хоча пояснювати людям, чим і для чого займаються вчені, вважаю частиною своєї роботи. Мою зарплатню платять з податків звичайних людей, а не професійних математиків, тож вони повинні знати, що ми робимо.
Практична користь фундаментальної задачі
Марина каже, що розв’язувала задачу передовсім через любов до математики, а не через думки про її практичне застосування.
— Однак деяку практичну користь це рішення може мати. Ще в середині минулого століття вчені усвідомили, що задача про найщільніше пакування куль тісно пов’язана з теорією передачі інформації. Якщо ми передаємо сигнал по каналу, там завжди є шум. Наш сигнал ми можемо уявити як точку у багатовимірному просторі. Наприклад, у 24-вимірному. Можна уявити, що в багатовимірному просторі є велика коробка. У ній ми збираємо наші кодові слова. Ми хочемо, щоби вони були на великій відстані одне від одного. Тобто якщо один сигнал спотвориться, ми все одно не зможемо його переплутати з іншим. Бо той спотворений буде розташований неподалік від іншого, який ми послали. Якщо відстань між кодовими словами велика, ми можемо вгадати, який саме з наших сигналів спотворився. Ось така проста модель, яку запропонував Шеннон на початку 50-х років, пов’язує теорію кодування з упаковками куль.
Київсько-берлінське життя
Зараз Марина разом із сім’єю живе в Берліні. Чоловік займається фізикою, вона — математикою. Хоча, направду, і в неї трапляються статті про теорії надпровідників. Каже, у них із чоловіком є багато спільних тем, які можна обговорювати. День математикині починається із того, що заводить свого малого сина до школи, після роботи — забирає. Такий звичний розпорядок дня.
— Нічого цікавого, — каже Марина. — Поміж тим сиджу за столом і пишу формули. Часом трохи їжджу на конференції.
Насправді графік провідних науковців завжди насичений. Часом важко знайти час на якісь інші захоплення. Якщо заглянути на сайт Марини В’язовської, там можна знайти багато цікавих малюнків, якими проілюстровані публікації. Прості чорно-білі, але із загадковими сюжетами та настроєм.
— Це ще давно зроблені, — зізнається Марина. — Колись малювала для себе. Зараз на це часу мало залишається.
Великою частиною роботи Марини В’язовської є викладання в університеті. Вона читає лекції англійською.
[do action=”linked-post” attachment=”1″/]
— Це можливість відволіктися, поспілкуватися з людьми. Викладання, якщо його не надто багато, йде на користь дослідженням. Весь час проводити за дослідженнями може бути складно, особливо якщо результатів не вдається досягти так швидко, як хотілось би. З лектурою одразу бачиш результат своєї роботи. Семестр закінчився, студенти складають екзамени, ти бачиш: «Ось, все на місці». Після дослідження ж можна кілька років чекати, поки отримаєш хоч якийсь результат.
Марину також запрошують виступати в українські університети. І вона часто приїжджає додому. В Києві живуть її батьки, сестри. Так і курсує між двома країнами.
— Німкенею, звісно, я себе не почуваю. Я все ще є громадянкою України. Не можу сказати, що інтегрувалася в німецьке життя. В Німеччині я працюю, але не живу.
Математика — це мистецтво думати повільно
На запитання про те, що могло б спонукати її повернутися в Україну, Марина відповідає, що найголовніша проблема — з фінансуванням.
— У суспільстві має бути запит. Мені здається, що в Україні не дуже розуміють, для чого взагалі наука потрібна. Тому що немає переходу від науки до високотехнологічних галузей в економіці. Без цього дуже важко пояснити пересічному громадянину, навіщо і що роблять ці науковці.
Думати повільно
— Математики — дуже непрості люди, — розмірковує Марина про те, чим особливий спосіб мислення науковців.
— Математика — це мистецтво думати повільно, — каже дослідниця. — І навіть дуже повільно! Можливо, цим математики і відрізняються від інших людей. Грати в шахи, наприклад, я зовсім не можу. Не можу швидко придумати, як зробити хід. А от коли беру задачу, то можу над нею думати днями, місяцями, роками. В цьому я можу зробити більше, аніж інша людина, яка швидше знудиться. У цьому і є різниця. Хоча серед математиків є й хороші шахісти.
— Заняття математикою — це внутрішнє рішення. До неї неможливо «заманити». Людина повинна займатися наукою тільки тоді, якщо вирішила, що нічим іншим займатися не хоче. Тоді це спрацює. Думаю, в Україні дуже сильна програма з математики. Це може бути значним поштовхом до розвитку.
Усі фото — Артур Яценко
